Acerca de integral usando la Transformada de Laplace.

Question

He visto en internet que $\int_{0}^{\infty} \frac{f(x)}{x} dx= \int_{0}^{\infty} L(f(x)) ds$, donde L es la Transformación de Laplace. Me gustaría saber cuales son las condiciones o hipotesis del Teorema, y dónde podría consultar la demostración, pues no sé como buscarla en internet y en libros de ecuaciones no lo he detectado. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $L \{ f(x) \}$ existe para la función $f$, entonces

$\int_{0}^{\infty}L \{ f(x) \}ds$

$= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} dxds $

$= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} dsdx $

$= \int_{0}^{\infty} f(x) \int_{0}^{\infty}  e^{-sx} dsdx $

$= \int _{0}^{\infty} \frac {f(x)}{x} dx $