¿Cómo demuestro que $e^{-x^2} \neq 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$?

Question

En es un curso de Análisis II. Sé que basta con demostrarlo para $e^x$ para todos los reales, pues la imagen de $-x^2$ es un subconjunto de los reales. No he visto logaritmos, sólo dos definiciones del número e, donde una de ellas es el de la sumatoria.

Yo sé que $\frac{1}{n!}$ es positivo para todo natural n, pero no sé como argumentar que la suma infinita es positiva, o al menos que no es 0.

Ojala se me pueda ayudar. Gracias.

Answer 1

No entiendo bien cuál es tu problema. Si defines sólo el número $e$ y luego defines $e^x$ como elevar $e$ a la potencia $x$ pues sólo hay que probar que $e\neq 0$. Si defines $e$ como la suma de $1/n!$, como cada término es positivo, la suma total es mayor que cada termino y por tanto también positiva.

Si defines  $e^x$ de otro modo pues... depende de cómo lo definas. Siempre puedes probar que la definición que tengas es equivalente a elevar el número $e$ a la potencia $x$ y regresar al caso anterior.

Comments

Gracias Elias

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A ver, no entiendo la respuesta de ElíasMochan. ¿Cómo es eso de que se regresa al caso anterior? En el desarrollo $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+ \ldots +\frac{x^{n}}{n!}+ \ldots$ hay que tener presente que cuando el exponente de $e$, es decir, $x$, es negativo, entonces la suma infinita es alternante (hay términos positivos, pero también negativos), por lo cual no todos los términos son positivos. Esto se da porque hay términos en los que el exponente $x$, que es negativo, está elevado a un exponente impar, por lo cual la potencia de $x$ resulta ser negativa, y entonces ese término de la serie queda negativo, porque $x$ es negativo. Y entonces no se puede afirmar que la suma infinita es positiva.

Lo que Mario Alejandro quiere es demostrar que $e^{-x^{2}} \neq 0\ \forall\  x \in \mathbb{R}$ usando el Análisis, expresando la función exponencial natural como la serie infinita. Ya que $x^{2} \geq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$, pues se tiene que $-x^{2} \leq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$. Así pues, siempre se tiene el número $e$ elevado a un exponente menor o igual que $0$, nunca positivo. Cuando el exponente de $e$ es $0$, el resultado es $1 \neq 0$ (se cumple). Por tanto, consideremos $e^{-z}$, donde $-z=-x^{2}$, es un número real negativo ($x \neq 0$). Entonces se tiene que $e^{-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-z)^{n}}{n!}}=1-z+\frac{z^{2}}{2!}-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{4}}{4!}- \ldots +\frac{(-z)^{n}}{n!}+ \ldots$. La suma infinita puede escribirse así: $(1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots)-(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots)$. Por tanto, para demostrar que $e^{-z}>0$ (lo cual demuestra que $e^{-z} \neq 0$), hay que demostrar que $(1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots)-(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots)>0$, es decir, demostrar que $1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots>z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots$. Es una comparación de series infinitas. Sabemos que, como $-z<0$, entonces $z>0$.

Answer 2

Otra cosa que puedes hacer es probar que $e^a e^b=e^{a+b} $ (cómo se prueba depende de la definición que tengas). Con esto y el hecho de que $e^0=1$ tienes que $e^x\neq 0$ para toda $x$, pues si $e^a=0$ tendrías que $1=e^0=e^{a-a}=e^a e^{-a}=0$ lo cual es absurdo.

Answer 3

Quiero opinar lo siguiente:

 

$e^{-x^{2}}=e^{0-x^{2}}=\frac{e^{0}}{e^{x^{2}}}=\frac{1}{e^{x^{2}}}$

 

Ahora, para que se cumpla $e^{-x^{2}}=0$, debe cumplirse entonces

$\frac{1}{e^{x^{2}}}=0$

 

Pero eso no puede ser, pues la única manera de que la fracción anterior sea $0$ es que su numerador sea $0$ siendo su denominador distinto de $0$. Sabemos con toda seguridad que el numerador es siempre distinto de $0$, porque siempre es $1$. Por tanto, no puede ser que $e^{-x^{2}}$ sea igual a $0$. Sabemos que $1$ dividido entre cualquier número real distinto de $0$ nunca es igual a $0$, y aún si el denominador fuera $0$, el resultado sería $\frac{1}{0}$, el cual podemos asegurar que no es igual a $0$. Cuando el denominador es un número real infinitamente cercano a $0$, el resultado es un número real infinitamente grande en valor absoluto, esto es, $\lim_{x \to 0}{\frac{1}{x}=\infty}$.