Hola:
Estoy estudiando ecuaciones diferenciales parciales y me interesa entender el siguiente fenómeno particular. El problema de Dirichlet Biharmónico consiste en encontrar soluciones a la ecuación
$-\Delta^2 u = f$
en el dominio acotado $\Omega$, de frontera suave y con $u = 0$ en $\partial\Omega $ y $\nabla u = 0 $ en $\partial\Omega$. Por cierto, por definición $\Delta^2 u = \displaystyle\sum_{i = 1}^n\displaystyle\sum_{j = 1}^n \partial_i\partial_i\partial_j\partial_j u $.
En el sentido de distribuciones esto es equivalente a hallar una función $u\in W^{2, 2}(\Omega)$ con $\nabla u = 0$ y $u = 0$ en $\partial\Omega$, en el sentido de traza, tal que
$\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla w = \displaystyle\int_{\Omega} fw.$
Ya he podido demostrar que existe una única solución. Sin embargo, también cumple ser $C^{\infty}(\Omega)$ y no tengo idea por qué. Me imagino se tiene que hacer algún proceso tipo "bootstrap" para probar que siempre pertenece a espacios de Sobolev más altos y por ende, mediante la desigualdad de Sobolev, incluirlo en espacios de Holder. Sin embargo, no me sale y no hallo referencias a este problema, encuentro muchas al problema no lineal y cosas más intensas, pero se ponen a hacer unas cosas de miedo muy particulares a las ecuaciones que tienen, pero según yo esto no debería ser tan rebuscado.
¿Alguien sabe si esto se puede reducir a los problemas de operadores elítpicos de orden 2 o algo así? ¿O alguien tiene alguna referencia donde ver este problema en particular?
Gracias.
