El número de Champernowne

Question

En el Problema 6 del Baúl de Problemas Olvidado hablan del número de Champernowne:

\[0.123456789101112131415161718 \ldots \]

¿Es un número irracional? ¿Es algebráico o trascendente?

Answer 1

Es trascendente.

Su irracionalidad puede establecerse con el sig. criterio (el cual se demuestra muy fácilmente, cf. comentarios al problema 9 en el artículo Un baúl de problemas olvidado: p. III, universo.math, vol. 2, núm. 2, junio-sept. 2015):

Sea $\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Supóngase además que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ es divergente. Si el número real $\alpha$ se obtiene al yuxtaponer, después del punto decimal, los términos consecutivos de la sucesión $\{a_{n}\}_{n} \in \mathbb{N}$, entonces $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

Según entiendo, el problema (más difícil) de establecer la trascendencia de la constante de Champernowne lo resolvió Kurt Mahler al final de los años 30 (del siglo pasado) en este paper:

https://carma.newcastle.edu.au/mahler/docs/046.pdf

Para más detalles sobre ese artículo de Mahler, ir a este otro thread del irracional:

http://www.irracional.org/index.php/434/