Espacios y subespacios vectoriales

Question

Este es otro problema, pero esta vez de la asignatura de Álgebra Lineal. No sé cómo encontrar ese otro subespacio vectorial $W_{2}$ que se pide, y no entiendo la condición que se da, que debe ser $\mathbb{R^{3}}=W_{1}+W_{2}$ . Les solicito su ayuda, por favor.

Dado el subespacio vectorial $W_{1}= \left\{ \left(x, y, z \right) \in \mathbb{R^{3}}\ :\ x-y-z=0 \right\}$ de $\mathbb{R^{3}}$ ,  encontrar otro subespacio $W_{2}$ de tal manera que $\mathbb{R^{3}}=W_{1}+W_{2}$ .

Answer 1

Puesto que para cada $(x,y,z)  \in \mathbb{R}^{3}$ se cumple que

$(x,y,z) = (y+z,y,z)+(x-y-z,0,0)$

y además

$(y+z,y,z)\in W_{1},$

se sigue que $W_{2} = \{(w,0,0) \colon w \in \mathbb{R}\}$.

Comments

Oh, qué interesante, gracias por su ayuda. Pero tengo la siguiente pregunta:
¿Ese $w \in \mathbb{R}$ que aparece en $W_{2}$ es el $x-y-z$ que aparece en la descomposición de $\left(x, y, z\right)$, y entonces $x-y-z \in \mathbb{R}$? En ese caso mi duda sería por qué $x-y-z \in \mathbb{R}$. Espero se me pueda aclarar. Gracias.

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$x-y-z$ es un número real porque $x,y$ y $z$ son números reales.

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Oh, sí. Yo hice mal la pregunta. Entiendo que $x-y-z \in \mathbb{R}$ porque $x$, $y$ y $z$ son números reales. Así que mi duda es realmente si $x-y-z$ puede ser cualquier número real, ya que en su respuesta, $W_{2}$ ha quedado como $\left\{\left(w, 0, 0\right) : w \in \mathbb{R} \right\}$. Es decir, yo entiendo que $x-y-z$ es un número real, pero no entiendo por qué puede ser igual a cualquier número real, cualquier número real que se nos ocurra, sin importar cuál sea.

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Sea $r$ un número real fijo (pero arbitrario). Entonces, si haces $x=r$, $y=0$ y $z=0$ se tiene que $r=x-y-z$.

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Oh, sencilla manera de demostrarlo, tiene razón. Ahora sí, estoy completamente claro. Muchas gracias.