Propiedad de puntos en el semiplano superior

Question

Hola:

Me interesa saber la veracidad del siguiente enunciado, no me sale...

Sean $X_m$, $Y_m$ puntos en $\mathbb{R}^n_+ = \{(x_1, ..., x_n \mid x_n > 0\}$, $p_m = |X_m - Y_m|$ y $Z_m$ la última coordenada de $Y_m$. Supongamos que 

$\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} \dfrac{p_m}{Z_m} = 0$.

¿Es posible encontrar reales positivos tales $\lambda_m$ tales que se cumplen las siguientes dos propiedades?

1. $\lambda_mp_m$ converge (o al menos tiene una subsucesión convergente) a un límite estrictamente positivo o infinito.
2. $\lambda_mY_m$ está acotado.

Muchas gracias, ojalá alguien tenga alguna idea.

 

Nota: Precisamente la condición del límite que se da hace que las opciones a intentar $\lambda_m = \frac{1}{p_m}$ o $\frac{1}{|Y_m}$ no funcionen.