¿Cómo demostrar la siguiente desigualdad?

Question

En un foro, leí que un usuario afirmo en un comentario de hace años lo siguiente:

Considerando el producto de intervalos $(0, a) \times (0, \infty)$ tenemos que

$\int_{0}^{a} \int_{0}^{\infty} |sin(x)e^{-xy}| dy dx\leq a$

Mi pregunta es cómo lo demuestro. Sé que la integral es menor o igual a la siguiente

$\int_{0}^{a} \int_{0}^{\infty} e^{-xy} dy dx = \int_{0}^{a} \frac{1}{x} dx$

Pero ya no pude seguir. Ojala alguien pueda colaborarme. Gracias.