¿Cómo demuestro por definición el siguiente límite?

Question

El límite es $\lim_{x \rightarrow+oo} \cos(\frac{1}{x}) = 1$

PD. $\forall \epsilon > 0$ $\exists M(\epsilon) > 0$ tal que $|cos\frac{1}{x} - 1| < \epsilon$ si $x > M$.

He partido de aquí: $|cos\frac{1}{x} - 1| = \frac{sin^2 (\frac{1}{x})}{|cos\frac{1}{x} +1|} \leq \frac{1}{|cos\frac{1}{x} +1|}$, pero ya no supe como avanzar. Espero se me pueda colaborar. Gracias.

Answer 1

Sabes que $\|y\|<\delta$ implica $\sin^2(y)<\epsilon$. Podemos asumir el mismo delta que implique que $1/2\leq\cos(y)\leq 1$. Assi para $x>\1/\delta$ tenemos

$$\frac{\sin^2(1/x)}{1+\cos(1/x)}<2/3\epsilon$$