¿Cómo demuestro el siguiente límite real?

Question

Buenas tardes, el problema dice así: Suponga $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donde $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todo x e y reales y también suponga que $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = L $. Demostrar que $L=0$ y que el límite de la función existe cuando x tiende a cualquier otro valor.

No se me ha ocurrido como empezarlo o cómo utilizar la primera condición. Espero puedan echarme una mano. Gracias de antemano.

Answer 1

Sean $x_n$ e $y_n$ sucesiones que tienden a 0. Entonces, la sucesión $x_n+y_n$ también tiende a 0. Entonces, $L=\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n+y_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)+f(y_n)$

$=\lim_{n\to\infty}f(x_n)+\lim_{n\to\infty} f(y_n)=\lim_{x\to0}f(x)+\lim_{y\to0}f(y)=L+L=2L$, de donde $L=0$.

 

Para ver que el límite de la función existe en cualquier valor de $x$, sea $x_n$ una sucesión que tiende a $x$. Entonces, para todo $n$ tenemos que $f(x)=f(x_n)+f(x-x_n)$. Despejando, $f(x_n)=f(x)-f(x-x_n)$. Del lado derecho, sabemos que $\lim_{n\to\infty}$ existe y es igual a $f(x)$. Entonces, para toda sucesión $x_n$ que tiende a $x$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$, de donde $\lim_{y\to x}f(y)=f(x)$.